수학문제 도와 주셔요

[남남이]

다항식 f ( x )를 ( x -1)^으로 나누면 나머지가 3x+2 이고, x+1 로 나누면 나머지가 3이다.

f ( x )를 ( x -1)^ ( x+1)   로 나눌 때의 나머지를 구하여라.

이 문제 풀이 좀 부탁드립니다

답은 x^+x +3 입니다
늦은 밤 끙끙대다 올려 봅니다...


(x)=(x-1)^(x+1)Q(x) + a(x-1)^+3x+2
f(-1)=3 이므로 윗식에 -1을 x에 대입하면 a(-1-1)^-3+2=3 그러므로 a=1 맨윗식을 보시면
삼차식으로 나눈 나머지는 이차식이하이므로 a(x-1)^+3x+2 가 나머지가 되는 것이니 구해놓은 a=1을 대입하면 나머지가 나옵니다. 그러므로 (x-1)^+3x+2= x^+x+3 입니다

며칠 전 도움 부탁 드렸던 문제 입니다
어느 분 께서 답변 주셨어요
고맙습니다
근데 제가 f(x)=(x-1)^(x+1)Q(x) + ax^+bx+c 에서 f(x)=(x-1)^(x+1)Q(x) + a(x-1)^+3x+2 가 되는 과정을 잘 모르겠습니다
어찌 푸는 걸까요

[.]

f(x)=(x-1)^(x+1)Q(x) + ax^+bx+c --------1)
f(x)=(x-1)^(x+1)Q(x) + a(x-1)^+3x+2 -----2)

1)식은 이해되시죠 f(x)를 3차식으로 나누니 2차식이 나머지가 되는 거구요.

2)식은 f(x)를 2차식인 (x-1)^로 나누게되면 ax^+bx+c 는 2차식이므로 나머지가 1차식이 될때까지 나눠줘야하니까 x^의 계수인 a가 몫이 되도록 한번 더 나눌 수 있게되요. 그런데 문제에서 (x-1)^로 나눈 나머지가 3x+2라고 했으니 나머지를 써서 같이 나타낸것입니다.

[..]

물어보신것만 설명해드리면요.
첫번째 식에서 (x-1)^2 으로 나누었을때 나머지가 3x+2이니
ax^2+bx+c 라는 일반적인 식에서 a(x-1)^2 으로 바꾸었을때 이 식역시 (x-1)^2으로 나누어지니 나머지 항은 3x+2 다 라고 놓고 풀으신거네요.

[남남이]

세 분 고맙습니다
참고해서 딸아이랑 다시 공부해 볼께요...

[수학]

물푸레나무님께 쪽지 보내 보세요. 82쿡 통해서 알게된 수학선생님이신데(과외)

진짜 선생님과 같은지역이라면 정말 우리딸아이 수학공부 부탁드리고 싶은 분이예요.

선생님께서 친절하셔서 답변 잘 해주실거 같아요.

[잠오나공주]

저 문제 아이들이 많이 어려워하는 문제랍니다...
설명을 장황하게 설명하듯이 써볼께요.. 잘 읽고 쓰면서 보세요..
아침에 일어나 풀어서 계산과정은 틀릴 수 있으니 이해해 주시고..
풀이가 이해 안되시면 쪽지보내주세요~
근데 요즘 제가 82에 잘 안들어와서 늦게 볼 수도 있어요..

식이아닌 수로 예를들어서 우선 생각해보세요..
124를 생각해봅니다..
124를 9로 나누면 나머지가 7이됩니다. 124를 5로 나누면 나머지가 4가 됩니다..
이것을 9*5 즉 45로 나누면 나머지는 34가 됩니다..
나머지 34를 다시 한 번 생각해봅니다..
34를 9로 나누면 나머지응 124로 나눈 나머지와 같은 7이 됩니다. 34를 5로 나누면 마찬가지로 나머지도 4가 됩니다.
이 원리를 이용하는 겁니다..

f(x)를 (x-1)^2으로 나눈 나머지는 3x+2 ->f(1)=5 (풀이에 필요는 없는 식이지만..)
f(x)를 (x+1)로 나눈 나머지는 3 ->f(-1)=3
f(x)를 (x-1)^2(x+1)로 나눈 나머지를 r(x)라고 한다면.. 나누는 식이 3차이기 때문에 r(x)는 2차이하가 되겠죠..
그래서 원래는 ax^2+bx+c로 놓고 계산하는데..
이런 문제의 경우는 구해야 하는 미지수가 a, b, c 이렇게 3개이고..
주어진 조건은 2개밖에 없죠.. 그렇기 때문에 이런 수법을 쓰는겁니다..
그렇다면 r(x)를 (x-1)^2으로 나눈 나머지도 3x+2, r(x)를 (x+1)로 나눈 나머지도 3

그럼... 두 가지를 생각해볼 수 있습니다..
첫째 r(x)를 (x-1)^2으로 나누면 2차를 2차로 나누었으므로 몫은 상수(a라합시다)이고 나머지는 3x+2 로 놓을 수 있어요..
둘째 r(x)를 (x+1)로 나누면 2차를 1차로 나누었으므로 몫은 1차(ax+b라 합시다)이고 나머지는 3이라 놓으면 되겠죠..

그럼 여기서...
첫째 방법은 구하는 문자가 상수 a 밖에 없고 둘째 방법은 구하는 문자가 a,b 두개 입니다..
그렇다면 우리는 구하는 문자의 갯수가 적은 첫째 방법을 선택해서 풀면 될겁니다..
둘째 방법도 풀리는데 연립방정식을 풀어야 하니 귀찮아서 패스 하세요~

그러므로
f(x)=(x-1)^2(x+1)Q(x)+"a(x-1)^2+3x+2"라는 식이 나오는거죠..(여기서 " " 안은 나머지를 의미하려고 표시함)
이것을 풀기 위해 x=-1을 대입하여 풀면 a=4가 나옵니다..
그러면 나머지는 a=4를 대입하여 계산하면 4x^2-5x+6

그리고 이 풀이법은 보통의 문제에서도 적용할 수 있구요.. 이 방법을 사용하면 지저분한 연립방정식 안 써도 되니까.. 숙달되면 무지 편한 방법이랍니다^^