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수학문제 도와 주셔요

남남이 조회수 : 642
작성일 : 2009-12-26 15:19:17
다항식 f ( x )를 ( x -1)^으로 나누면 나머지가 3x+2 이고, x+1 로 나누면 나머지가 3이다.

f ( x )를 ( x -1)^ ( x+1)   로 나눌 때의 나머지를 구하여라.

이 문제 풀이 좀 부탁드립니다

답은 x^+x +3 입니다
늦은 밤 끙끙대다 올려 봅니다...


(x)=(x-1)^(x+1)Q(x) + a(x-1)^+3x+2
f(-1)=3 이므로 윗식에 -1을 x에 대입하면 a(-1-1)^-3+2=3 그러므로 a=1 맨윗식을 보시면
삼차식으로 나눈 나머지는 이차식이하이므로 a(x-1)^+3x+2 가 나머지가 되는 것이니 구해놓은 a=1을 대입하면 나머지가 나옵니다. 그러므로 (x-1)^+3x+2= x^+x+3 입니다

며칠 전 도움 부탁 드렸던 문제 입니다
어느 분 께서 답변 주셨어요
고맙습니다
근데 제가 f(x)=(x-1)^(x+1)Q(x) + ax^+bx+c 에서 f(x)=(x-1)^(x+1)Q(x) + a(x-1)^+3x+2 가 되는 과정을 잘 모르겠습니다
어찌 푸는 걸까요


IP : 211.179.xxx.47
5 개의 댓글이 있습니다.
  • 1. .
    '09.12.26 3:36 PM (121.138.xxx.61)

    f(x)=(x-1)^(x+1)Q(x) + ax^+bx+c --------1)
    f(x)=(x-1)^(x+1)Q(x) + a(x-1)^+3x+2 -----2)

    1)식은 이해되시죠 f(x)를 3차식으로 나누니 2차식이 나머지가 되는 거구요.

    2)식은 f(x)를 2차식인 (x-1)^로 나누게되면 ax^+bx+c 는 2차식이므로 나머지가 1차식이 될때까지 나눠줘야하니까 x^의 계수인 a가 몫이 되도록 한번 더 나눌 수 있게되요. 그런데 문제에서 (x-1)^로 나눈 나머지가 3x+2라고 했으니 나머지를 써서 같이 나타낸것입니다.

  • 2. ..
    '09.12.26 3:38 PM (118.222.xxx.214)

    물어보신것만 설명해드리면요.
    첫번째 식에서 (x-1)^2 으로 나누었을때 나머지가 3x+2이니
    ax^2+bx+c 라는 일반적인 식에서 a(x-1)^2 으로 바꾸었을때 이 식역시 (x-1)^2으로 나누어지니 나머지 항은 3x+2 다 라고 놓고 풀으신거네요.

  • 3. 남남이
    '09.12.26 4:28 PM (211.179.xxx.47)

    세 분 고맙습니다
    참고해서 딸아이랑 다시 공부해 볼께요...

  • 4. 수학
    '09.12.27 2:46 AM (110.9.xxx.64)

    물푸레나무님께 쪽지 보내 보세요. 82쿡 통해서 알게된 수학선생님이신데(과외)

    진짜 선생님과 같은지역이라면 정말 우리딸아이 수학공부 부탁드리고 싶은 분이예요.

    선생님께서 친절하셔서 답변 잘 해주실거 같아요.

  • 5. 잠오나공주
    '09.12.28 6:42 AM (118.32.xxx.70)

    저 문제 아이들이 많이 어려워하는 문제랍니다...
    설명을 장황하게 설명하듯이 써볼께요.. 잘 읽고 쓰면서 보세요..
    아침에 일어나 풀어서 계산과정은 틀릴 수 있으니 이해해 주시고..
    풀이가 이해 안되시면 쪽지보내주세요~
    근데 요즘 제가 82에 잘 안들어와서 늦게 볼 수도 있어요..

    식이아닌 수로 예를들어서 우선 생각해보세요..
    124를 생각해봅니다..
    124를 9로 나누면 나머지가 7이됩니다. 124를 5로 나누면 나머지가 4가 됩니다..
    이것을 9*5 즉 45로 나누면 나머지는 34가 됩니다..
    나머지 34를 다시 한 번 생각해봅니다..
    34를 9로 나누면 나머지응 124로 나눈 나머지와 같은 7이 됩니다. 34를 5로 나누면 마찬가지로 나머지도 4가 됩니다.
    이 원리를 이용하는 겁니다..

    f(x)를 (x-1)^2으로 나눈 나머지는 3x+2 ->f(1)=5 (풀이에 필요는 없는 식이지만..)
    f(x)를 (x+1)로 나눈 나머지는 3 ->f(-1)=3
    f(x)를 (x-1)^2(x+1)로 나눈 나머지를 r(x)라고 한다면.. 나누는 식이 3차이기 때문에 r(x)는 2차이하가 되겠죠..
    그래서 원래는 ax^2+bx+c로 놓고 계산하는데..
    이런 문제의 경우는 구해야 하는 미지수가 a, b, c 이렇게 3개이고..
    주어진 조건은 2개밖에 없죠.. 그렇기 때문에 이런 수법을 쓰는겁니다..
    그렇다면 r(x)를 (x-1)^2으로 나눈 나머지도 3x+2, r(x)를 (x+1)로 나눈 나머지도 3

    그럼... 두 가지를 생각해볼 수 있습니다..
    첫째 r(x)를 (x-1)^2으로 나누면 2차를 2차로 나누었으므로 몫은 상수(a라합시다)이고 나머지는 3x+2 로 놓을 수 있어요..
    둘째 r(x)를 (x+1)로 나누면 2차를 1차로 나누었으므로 몫은 1차(ax+b라 합시다)이고 나머지는 3이라 놓으면 되겠죠..

    그럼 여기서...
    첫째 방법은 구하는 문자가 상수 a 밖에 없고 둘째 방법은 구하는 문자가 a,b 두개 입니다..
    그렇다면 우리는 구하는 문자의 갯수가 적은 첫째 방법을 선택해서 풀면 될겁니다..
    둘째 방법도 풀리는데 연립방정식을 풀어야 하니 귀찮아서 패스 하세요~

    그러므로
    f(x)=(x-1)^2(x+1)Q(x)+"a(x-1)^2+3x+2"라는 식이 나오는거죠..(여기서 " " 안은 나머지를 의미하려고 표시함)
    이것을 풀기 위해 x=-1을 대입하여 풀면 a=4가 나옵니다..
    그러면 나머지는 a=4를 대입하여 계산하면 4x^2-5x+6

    그리고 이 풀이법은 보통의 문제에서도 적용할 수 있구요.. 이 방법을 사용하면 지저분한 연립방정식 안 써도 되니까.. 숙달되면 무지 편한 방법이랍니다^^

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