아이가 명제의 개념을 잘 이해 못하는데 어떻게 설명해줘야할까요?

[수학]

중학교 2학년 수학에 명제 부분이 나오잖아요
제가 아이한테 설명을 해주는데, 좀 잘못해주고 있는거 같아요..
아이가 헷갈려하네요

예를 들면 '2x-1=3'이러한 방정식은 명제가 아니잖아요
아이한테 설명하기를

x값에 따라 참이 될수도 있고, 거짓이 될수도 있다고
2를 넣으면 참이고, 2이외에 다른숫자 예를 들면 1,3 이런걸 넣으면 거짓이 되지?
그래서 이러한건 참인지 아닌지 알수가 없어서 명제가 아니야

이런식으로 설명을 해주었어요

근데 문제는

'ac>bc이면 a>b이다'
이건 명제가 맞잖아요? 거짓인 명제..

이걸 설명해줄때
만약 c가 음수이면 성립하지 않지? 그래서 거짓인거야.. 라고 설명을 해주었더니

그럼 c가 양수일땐 성립하니까, 이건 명제가 아니지 않느냐고 하네요
(양수일땐 성립하고 음수일땐 성립하지 않으니까요)

앞에 방정식에서 2일땐 성립하고 다른떈 성립안했으니까
뒤에것도 성립하기도 하고 안하기도 하니까 명제가 아니라고 생각을 해버려요..

제 설명이 어디가 잘못된걸까요? 전 당연히 저 방정식은 명제가 아니라는게 눈에 들어와 버려서 더이상 뭐라 설명을 해줘야 하는지 모르겠어요

수학 잘하시는분들 도움을 부탁드립니다 ^^

[명제는..]

일단 참 거짓을 따지기 전에 완전한 문장의 형태로 표현이 되죠.. 교과서에서는 p이면 q이다 또는 가정과 결론으로 나눌 수 있어야 한다. 뭐 이런식으로 나오잖아요..
아이한테 그 부분을 좀 더 강조하면 되지 않을까 싶어요.. 위의 방정식에서는 가정과 결론이 명확하게 나타나지 않는 문장이고, 밑에 거짓인 명제에는 가정과 결론 부분을 나눌 수 있죠.

[답이 될는지..]

명제는 참 또는 거짓을 구별할 수 있는 문장이나 식이라고 알고 있습니다.

'김태희는 예쁘다'나 '지금 저 하늘이 푸르다'와 같은 문장은 참/거짓을 판별하는 게 불가능하기 때문에 명제라고 할 수 없는 반면에
'부시는 일곱 살이다' '강만수는 한국의 여성부 장관이다' '독도는 한국땅이다'와 같은 문장은 참/거짓을 구별할 수 있기 때문에 명제가 됩니다.

'2x-1=3'은 이것만 가지고는 참/거짓을 구분할 수 없기 때문에 명제라고 할 수 없지요. 명제를 구성하지 못합니다. 명제를 구성하기 위해서는 전제가 필요합니다. 예컨대 x의 값이 2라면, 또는 x의 값이 8이라면과 같은 전제.

'ac>bc이면 a>b이다'는 참/거짓을 판별할 수 있기 때문에 분명한 명제입니다. 거짓인 명제.
이 명제가 거짓인 까닭은 c의 값이 0 또는 0보다 작은 수일 때 성립하지 않기 때문입니다.
이 경우 0이나 -값을 예로 제시하며 참이 아님을 증명하는 것을 반례라고 할 것입니다.

[덧붙여..]

윗분들 설명에도 나왔지만 좀 더 자세히 설명을 해볼께요.
말씀하신대로 '2x-1=3' 은 x의 값에 따라 참이 되기도 거짓이 되기도 하기에 명제가 아니죠. 하지만 'x=2 이면 2x-1=3이다' 는 명제입니다.
'~이면 ~이다' 라는 식으로 참과 거짓을 결정할 수 있는 기준을 제시해 주었기 때문이죠.
'철수는 키가 크다'는 명제가 아니지만 '철수는 영희보다 키가 크다'는 명제가 되는 것도 같은 이유입니다.

'ac>bc 이면 a>b 이다'는 'ac가 bc 보다 크다면' 이라는 전제를 제시해 주면서 'a가 b보다 크다' 라는 것이 참인지 거짓인지 판별하라는 문장이니 명제가 맞는 것입니다.

여기까지도 아이는 계속 헷갈릴 수 있는 설명이겠네요.. 역시 참인 경우도 있고 거짓인 경우도 있다 라고 생각이 들었으니 그 생각을 깨기 힘들테니까요.

명제는.. 님 말씀처럼 가정과 결론으로 나뉘어서 그 가정에서 유추할 수 있는 결론이 참인지 거짓인지 판별할 수 있는 것. 이걸 강조하시는 게 낫겠어요.

[.....]

명제라는것은 누가보든 언제보든 어디서보든 항상 참이어야합니다.
때에 따라 사람에 따라 다른답이 나오게 되는건 명제가 아니죠.
99명이 맞다하더라도 1명이라도 다른결과가 나오게 되는건 명제가 아니죠.
그걸 반례라고 하고요.
중학교 2학년 2학기부터 어려워지는건 수학이 정색하고 따지고들어가기 시작해서 그런것같아요.
일상생활에서 예를 찾아서 설명해주세요.
어떤 고등학생은 머리도 좋고 수학도 좋아해서 1등급이 나오는 아이인데도
현금에 이자가붙는 원리를 이해못해서
원리합계부분을 못했던 아이도 있었습니다.
10년 20년 긴기간을 예도 설명해줬더니 겨우 알아듣더군요.
주변의 일상을 가지고 설명해주면 아이들이 쉽게 받아들인답니다.