수학 응용문제를 잘 못 풀면.

[해어화]

기본적인 문제는 잘 푸는 데, 수학 응용문제를 잘 못 풀면

개념을 이해하지 못했다고 봐야지요.

응용문제는 숨은 그림처럼 개념을 약간 감춰두는데,

그걸 찾아 내지 못했으니, 개념이 서툰 것이겠죠.

개념이 중요하다고 하는데, 막상 개념이란 게 뭐냐고 물으면

대답을 주저합니다. 개념이란 뭐냐에 대한 대답이 수학 실력과

관련이 있어요.

“아는 것과 모르는 것을 구분”하는 게 단순한 것 같지만,

수학을 잘 못하는 아이는 공식만 외워도 개념을 안다고

생각하죠. 수학을 잘 하는 아이의 내면 깊숙한 곳에는

“내가 정말로 이 개념을 모두 알고 있는 것일까”에 대한 의문을

가지고 있어요. 자신도 잘 의식하지 못하는 그런 의문이

보완할 점을 발견하게 만들고, 성적을 더욱 굳건하게 하죠.

성적이 좋은 아이는 모를지도 모른다라고 하고, 그렇지 않은 아이는

안다고 생각하네요. 안다고 생각하기에 보완할 점을 찾는 노력이 없고

그렇기에 응용 문제 속에 담겨진 개념을 발견하지 못하죠.

그래서 성적 향상이 어려운가 보네요.

개념의 내면에 대한 생각이 부족하니, 여러 가지 문제에 대한 경험을

쌓으려고 합니다. 풀어 본 문제와 비슷한 문제가 나오면 맞출 수 있다는

생각이지요. 고 1 때 까지는 이런 유형학습이 분명 효과가 있어요.

하지만 그 후에는 유형이 너무나 많기 때문에 감당하기 어려워요.

다 풀기도 어렵고, 기억하기는 더욱 어렵죠. 또한, 수능에서는

신유형 문제가 나오기 때문에 이전 문제를 바탕으로 한 유형학습으로는

곤란해요. 아이들이 고2, 고3 때 힘들어 하는 건 이런 부분과 관련이 있어요.

가급적 어려서부터 좋은 공부방법을 몸에 익히는 게 좋아요. 한가지 예를 들면

1단계 -> 2단계 -> 3단계로 이루어진 문제집도 1단계->3단계로 푸는 게

좋아요. 모르는 것과 아는 것이 극명하게 드러나죠. 아이도 고통스럽고, 시간도

많이 걸리죠. 고등학교 3학년이 되면 시간이 없어서도 이런 방법은 쓸 수

없어요. 고 1 때까지 이런 방법이 몸에 익으면 실력도 사고력도 엄청 좋아지죠.

수학 성적은 모르는 게 결정해요.

응용문제를 잘 못 풀면 그 문제 풀이법을 익히려 하지만,

그 문제를 푸는 법이 중요한 게 아니에요. 정말로 중요한 것은 그 문제 속에 담긴

어떤 개념을 어떻게 모르느냐를 알아내는 거예요. 그것을 발견해서 보완하면

수 많은 풀이를 본 것보다 훨씬 효과적이고 응용력도 좋아지요. 결국 이런 방법이

문제풀이 위주의 방법보다 진도도 빠르고 고난도 문제도 대응하기 좋게 만들어요.

아이가 응용문제를 잘 못 풀면,

“1등급만 아는 비밀 수능 수학 이야기”라는 책을 보면 참고가 될 거예요.

[...]

말씀하신 책, 그래24에서 검색이 안되는데요. 어디에서 찾아봐야 하지요?

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좋은 말씀입니다.
그런데 선행으로 한번 공부한 부분을(당시엔 단단히 다지고 익혔다고 생각했는데) 몇달 지나서 잊어버리고 다시보면 그때 기억 나는건,
개념을 채 다 못익히고 온건가요, 아님 정상적인 단계인가요?

개념을 확실히 알면, 응용은 저절로 되는게 아니어서 문제를 많이 접해봐야한다고 생각했는데 그게 아니라는 말씀이신가요?

궁금합니다.

[해어화]

공부한 뒤 시간이 몇 개월 지난 뒤 내용을 모두 기억하지 못하는 것은 아주 자연스러운 현상이죠. 시간은 태풍이어서 많은 것을 휩쓸어 버립니다. 하지만, 다리의 교각은 남아있어야 해요. 그래야 시간이 지난 뒤 다시 공부할 때 금방 복구가 됩니다. 어느게 교각이고 어느게 상판이고 어느 게 난간인지 구별해야 합니다.
정말로 중요한 핵심요소는 시간이 지나도 기억해 내야 해요. 교과서의 개념부분 설명을 찾아봐서라도 스스로 알아내야 해요. 공식을 잊어버릴 수도 있어요. 하지만 이건 큰 문제가 아니에요. 이런 대상을 정리하면 최종적으로 이런 공식이 성립하는 데, 그 공식이 정확하게 기억나지 않는 것은 큰 문제가 아니에요. 하지만, 시간이 걸리더라도 그 공식을 증명해봐라 라고 했을 때, 잘 하지 못하면 스스로에게 부끄러워해야 해요.
제 말은 문제풀이를 많이 하는 것을 쓸모 없다는 뜻은 아니에요. 한 문제를 풀어도 아무런 의심이 남지 않도록 풀으라는 이야기죠. 이렇게 공부하면 시간이 엄청걸릴 것 같잖아요. 처음엔 그래요. 엄청느리죠. 하지만 어느 정도 시간이 흐르면 로켓이에요. 그 동안 숱하게 반성하고 보완했으니 시간이 지날수록 공부 속도가 빨라지죠.
책은 교보문고에서 검색해 보세요.

[해어화]

“안다는 것은 응용할 수 있다”는 말 이라고 해요. 응용하지 못하면 개념을 안다고 할 수 없는 거죠. “개념을 확실히 하고, 문제를 많이 접해서 응용력을 키운다.”는 말은 잘못된 이야기라고 할 수도 없지만, 옳다고도 하기 어려워요. 경우의 수, 확률같은 단원은 개념의 깊이가 앝기 때문에 다양한 문제상황을 접해봐야 하죠.

그럴 경우엔 “문제를 많이 접해서 대응력을 키운다”라는 표현이 자연스럽죠. 하지만, 올 평가원 9월 모의평가 문과 21번 문제같은 신유형 문제는 단순히 다양한 문제를 많이 풀어본다고 풀 수 있는 문제는 아니에요. 개념의 끝을 봐야 하는 문제에요. 1등급을 넘는 다리라고 할 수도 있는 문제요. 평소에 개념의 끝을 보는 연습을 하면 이런 문제가 반가울 수 있어요.

다음 사이트에 약간의 책소개가 있네요.
“ http://mathstory.s3-website.ap-northeast-2.amazonaws.com/ ”

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감사합니다.

평소 아이가 전에 배운걸 까먹었다고 하길래, 그리고 다시 보면 기억나는 것도 있고 기억 안나는 것도 있다고 해서 걱정이 좀 되었어요. 요즘은 흔히들 몇회독씩 하면서 보므로, 괜찮다는 분들도 많고 그래서 빠른 선행이 필수라는 분들, 빠른 선행보다는 한학기나 일년 정도의 예습으로 다지는 것이 좋다는 분들도 있고...이 역시 양쪽 다 일리가 있다고 봅니다.

특히나 막상 고등학교 들어가서 여러번 본 학생들이 잘하기도 하길래 학부모로서 선행을 얼마나 진행해야 하는지 조급증도 생기더군요. 말씀하신대로 응용력이 생기면 적어도 현재 배운데까지는 확실히 알아야하는데, 그것도 자꾸 잊어버리니 더더욱 빠르게 몇회독 하는 것이 낫지않나 하는 생각도 들었어요.

개념의 끝을 보는 연습...참 중요하겠구나 싶기는 한데, 구체적으로 체득할 방법을 모르겠어요. 학교도 학원도 이 연습까지 시켜주기에는 역부족인듯 하여. 말씀하신 책에는 방법론까지 나와있나요?

증명 부분...특히 기하부분 증명은 공식의 단순 암기보다 중요하다는 생각은 드는데, 구체적으로 꼭 필요하다는 생각이신가요? 기하파트 말고도 공식의 증명은 꼭 필요하다고 보시나요?

[해어화]

수학도 트렌드가 있는데, 요즘 기하쪽에선 직관적인 이해를 강조하고 형식적 증명은 간소화하거나 약화하는 추세에요. 미적분에 들어서면 정의와 증명이 매우 중요해요. 문과도 중요하고 이과는 말할 것도 없구요. 올 3학년 평가원 9월 수능 모의평가 이과 30번 문제는 정답률이 매우 낮은 신유형 문제였어요.
이 문제는 어떤 문제지에서도 나오지 않은 새로운 문제인데, 그 풀이의 시작은 기본 개념이죠. 개념을 코끼리라고 하면, 다리하나는 정의 또 다른 다리는 증명, 코는 공식 등등이라고 할 수 있겠죠. 이런 성질과 전체적인 이미지(모양)와의 연관성이 정리되어야 비로소 개념이라는 틀이 세워지겠죠.
그림은 수식으로 설명하고, 수식을 그림(그래프 등)으로 표현하는 게 자유롭게 될 때 개념이 시작된다고 봐야죠. 수능 고난도 문제는 공식을 묻지 않아요. “ 너 이 개념을 알아”, “진짜로 이 개념을 알아”, “정말로 이 개념을 안단 말이야” 이렇게 잔인하게 물어요. 평가원 30번 문항은 매우 어렵지만 비교적 굵은 개념 하나만을 집요하게 물은 문제예요.
9월 평가원 모의평가 문과 21번 문항은 미분의 가능이라는 정의와 활용 그리고 그래프와의 연관성과 추론이 복합된 문제예요. 3등급 정도 되는 아이는 풀지도 못했을 뿐 아니라 풀이를 보고도 이해가 안된다고 해요. 만약 아이가 미적분1 진도를 나갔으면 꼭 이 문제를 풀어 봐야 해요. 시간은 상관 없어요. 이 문제 하나만 집중적으로 연구해도 정말 많은 것을 얻을 수 있어요.
앞서 말씀드린 책 “ 1등급만 아는 비밀. 수능 수학 이야기 ”에도 이런 내용이 나오죠. 다른 내용도 나오구요. 하지만, 그 책만 읽으면 모든 게 해결된다 이렇게 말할 수는 없어요. 하지만 새로운 시각을 접할 거라고 봐요. 그 책에선 기발한 풀이가 몇 개 있어요. 기발한 풀이를 소개하는 이유는 좋은 생각을 권하는 뜻도 있지만, 한 가지 문제를 여러 가지 방법으로 풀어보라는 속 뜻이 있어요.

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수학 공부 방법 글 감사합니다

[yellow]

저두 수학공부법 감사 드려요