수학문제 풀이좀~~~~^^<수정했어요!>

[중2맘]

중2 문제입니다~

애가 답은 알겠는데 풀이 방법을 모른다 하군요.. 그러니까 일명 노가다?로 풀었다네요

풀이 좀 부탁드려요^^


(10A+B)-(30+A)=10B+A 의 AB의 곱 값은?
A,B는 한자리의 자연수.

[55]

문자가 두갠데 식은 하나네요. 사라지는 문자도 없고. 문제에 곁들여진 게 없나요?

[.]

10a+b-30-a=10b+a
9a+b-10b-a=30
8a-9b=30
8*6-9*2=30
48-18=30
a=6, b=2
a*b=12

[음..]

식이 하나 더 필요합니다.

윗님 처럼하면
8a-9b=30에서 a=15, b=10 등등 답이 무수히 많습니다.

[비행기?]

문자 수에 따라 식의 개수가 필요해요..
윗식은 a,b즉 모르는 수가 두개니 식도 두개여야 하는데요,,,

[위의 문제는..]

주어진 문제는 위에서 말씀하신 것 처럼 답이 여러개 나올 수 있는 부정방정식인데요, 이런 경우 두 수의 곱을 구하는 문제는 문제가 잘못되었거나, 문제를 옮기시는 과정에서 무엇 하나 빠진 것이라고 조심스럽게 추측해봅니다...ㅡㅡ;;

[중2맘]

아!! 한자리의 자연수 A,B라고 더 있네요 ^^
다른 말은 없어요;;

[..]

그렇죠. 수학문제에서 a,b에 대한 단서조항이 없다니 이상했어요.

[답..]

8a-9b=30을 만족하는 한자리 자연수는 (6,2)로 유일하게 나옵니다. 그래서 곱이 12이구요, 이 문제 같은 경우는 8a가 되는 수가 무조건 30보다 커야 하고(차가 30보다 크니깐요) 한자리 자연수가 몇개 없으니까 하나씩 대입해서 찾는게 수입니다.

[공식..]

식을 굳이 만들자면... 좀 머리가 아프네요... ^^;;

a와b 둘다 한자리수 자연수라는 것은
좌변에 있는 10a+b 와 우변에 있는 10b+a 는 a와 b가 자리수가 바뀐 두자리 수라는 것입니다.
이때 우변을 좌변으로 이항시키고, 30+a는 우변으로 이항시키면

(10a+b)-(10b+a)=30+a
9a-9b=30+a
9(a-b)=30+a -------------------------------------------(*)

이때 우변을 먼저 보면..
a는 1에서 9까지의 숫자입니다.(문제에서 a는 한자리의 자연수)
즉 우변의 30+a는 최소 31, 최대 39라는 의미이지요.
따라서,
31≤30+a≤39

(*)표시해둔 곳에서.... 30+a는 9(a-b)와 같다고 했었으므로...

31≤9(a-b)≤39

역시 성립합니다..
부등식에서도 방정식과 같이 세 항을 똑같이 나눌 수 있으므로..

31/9 ≤ a-b ≤ 39/9
3.4xxxxx ≤ a-b ≤ 4.3xxxxx

a-b는 3.4xxx 와 4.4xxxx 사이의 수인데..
자연수-자연수는 자연수가 되므로..
a-b는 자연수 4만 가능합니다.. 따라서, a-b=4

이때 다시 이항시켰던 식, (*) 표시가 된 식으로 돌아가보면,
9(a-b)=30+a
a-b는 4이므로
9*4=30+a
36=30+a
따라서 a=6
b=2

즉, a*b=12 가 나옵니다...

중2라 그래서 부등식을 써봤는데... 음... 너무 복잡하게 풀진 않았나.. 고민되네요..

[공식..]

근데... 이리 푸는것보단.. 그냥 직접 대입하는게 빠를듯해요... ^^;;;;;

[soo]

한 자리의 자연수일 때는, 곱이나 배수관계로 푸는 것이 빠릅니다.

1) 식을 전개해서 왼쪽으로 다 이항하면
10A+B-30-A-10B-A = 8A-9B-30 = 0

2) 먼저 A와 숫자를 짝지우고 B를 이항하면
8A-30 = 9B
2(A-15) = 9B
A-15는 정수이므로 B는 2의 배수, 즉 짝수여야 합니다.

3) 이번에는 B와 숫자를 짝지워서 이항하면
8A = 9B+30
8A = 3(3B+10)
3B+10은 정수이므로 A는 3의 배수여야 합니다.

4) 2번과 3번을 생각해볼 때,
한 자리 수에서 2의 배수보다 3의 배수가 적으므로
A에 3,6,9를 대입합니다.

5) 3을 대입했을 때
8X3 = 3(3B+10)
8 = 3B+10
B가 음수가 나오므로 자연수라는 조건에 맞지 않습니다.

6) 6을 대입했을 때
8X6 = 3(3B+10)
16 = 3B+10
B = 2 (ㅇ)

7) 9를 대입했을 때
8X9 = 3(3B+10)
24 = 3B+10
B가 분수 형태로 나오므로 자연수라는 조건에 맞지 않습니다.


-부등식을 넣는 등 여러 방법이 있지만
이 방법이 중학생이 제일 쉽게 받아들일 수 있는 방법이 아닐까 합니다.

[soo]

덧붙이자면
공식님께서 말씀하신 것이 문제의 의도를 이해하는 데에는 더 좋은 것 같습니다.
그 방법으로 좀더 쉽게 풀어보자면,

1)
a와b 둘다 한자리수 자연수라는 것은
좌변에 있는 10a+b 와 우변에 있는 10b+a 는 a와 b가 자리수가 바뀐 두자리 수라는 것입니다.
이때 우변을 좌변으로 이항시키고, 30+a는 우변으로 이항시키면

(10a+b)-(10b+a)=30+a

공식..님께서 쓰신 이 부분까지를 참고해 보겠습니다.

2)
a와b를 순서대로 쓴 두 자리 자연수가
b와a를 순서대로 쓴 두 자리 자연수보다 커야
뺐을 때 30+a(a는 자연수)가 나옵니다.
그러므로 a>b 를 알 수 있습니다.

3)
10의 자리와 1의 자리를 따로 계산합니다.
(평소에 뺄셈을 할 때와 마찬가지로)
1의 자리를 빼서 a가 나오고(한 자리 자연수므로)
10의 자리를 빼서 30이 나와야 합니다.(10의 자리 3)

4)
그런데 b-a를 하려면 작은 수에서 큰 수를 빼야 하므로
10의 자리에서 하나 빌려와야 합니다.
그래서 10+b-a를 해야 1의 자리인 a가 나옵니다.
10+b-a = a ...(ㄱ)

5)
그러면 10의 자리는 1의 자리에 하나 빌려줬으니
a-1 -b 가 3이 되어야 합니다.
a-1-b =3 ...(ㄴ)

6)
두 식을 연립합니다.
(ㄱ) 식에서 문자를 우변으로 이항하면
2a - b = 10
(ㄴ) 식에서 숫자를 우변으로 이항하면
a - b = 4

a = 6, b = 2

[해결 !]

우와. . . 모두들 감사드려요^ ^

정말 이해가 쏙쏙된다네요!