수학공부를 잘 하려면 ‘수학머리’가 있어야 한다고 합니다. 구체적으로 수학은 수학머리가 70퍼센트를 차지한다고 말하기도 합니다. 정말인가요. 라이프니츠, 가우스, 라플라스 이런 사람들은 정말 수학머리가 있다고 할 수 있겠지요. 만약 수능이나 내신이 목표라면 소위 ‘수학머리’라는 게 반드시 있어야 하는 건가요.
최근의 연구결과에 따르면 우리가 짐작하는 ‘수학머리’에 의해 수학성적이 결정되지는 않는다고 합니다. 가장 큰 영향을 미치는 유의미한 요소는 ‘메타인지’라고 합니다. 그리고 메타인지는 후천적으로 개선될 수 있다고 합니다. 선천적으로 결정된다고 하는 ‘수학머리’는 아닌 셈이지요.
저도 이렇게 이야기 하지만 ‘수학머리’라는 말의 뉘앙스를 알고 있습니다. 고등학교 1,2,3학년동안 시험 본 공식적인 수학시험 (내신, 모의고사, 수능)에서 틀린 문제를 모두 합해도 15문제가 안 되는 아이가 있었습니다. 거의 모든 시험이 100점이었죠. 이 아이를 주위에서 평하는 소리를 많이 들었습니다. 핵심은 ‘수학머리’가 있어서 저렇다는 거죠. 저는 이 아이를 아주 가까이서 지켜 봤습니다. 남들은 도저히 알 수 없는 내용도 있습니다. 그 아이를 오랫동안 지켜 본 제가 내린 판단은 이렇습니다. “그 아이의 수학성적을 결정한 것은 첫째는 공부방법이고, 둘째는 노력이다. 그리고 첫 번째 요소와 두 번째 요소에 모두 메타인지가 스며들어 있다.”
메타인지의 가장 큰 요소는 ‘아는 것과 모르는 것을 구별하는 능력’이라고 합니다. 이게 수학점수에 커다란 영향을 끼친다니 의아하죠. 물론 메타인지 조차도 선천적인 요소가 있을 것입니다. 하지만, 메타인지는 후천적으로 개선될 수 있다고 하니 반가운 일입니다.
“샘이 아이에게 개념설명을 하고 예제를 풀어줍니다. 푼 것을 보고 아이가 다시 풉니다. 못 풀면 예제를 다시 풀어줍니다. 이런 과정을 다른 유형에 반복해서 적용합니다.” 샘이 푼 것을 보고 학생이 그것을 모방해서 배우는 방식은 아주 일반적인 수업방식이죠. 여러 가지 이유로 현실적으로 이럴 수 밖에 없는 경우가 많습니다.
앞서 이야기한 15문제 아이가 중학교 때 개인과외를 받았는데, 샘의 지도방법이 바로 저랬습니다. 오늘 진도를 나가기 전에 숙제에서 틀린 문제를 학생이 모두 풀 때까지 반복했습니다. 진도는 매우 느렸습니다. 너무 힘들다며 아이가 울기도 하고, 엄마와 다툼도 많았습니다. 특별히 개인과외까지 하는 데 성적도 좋지 않고, 진도도 느립니다. 믿었던 큰 아이의 ‘수학머리’에 실망한 엄마의 고민 때문에 온 집안이 우울해졌어요.
아이가 달라진 건 새로운 샘이 등장하면서 부터죠.
“신 개념이 등장하면 샘이 일방적으로 설명할 부분을 가급적 줄이면서 아이와 함께 개념을 살핍니다. 아이가 스스로 개념을 이해하도록 도와줍니다. 거의 모든 문제는 아이가 스스로 풀게 합니다. 아이가 못 풀 때 가급적 작은 힌트만 줍니다. 새로운 접근이 필요할 때, 아이가 생각할 수 없다고 생각되는 부분만 살짝 보여줍니다. 그리고 나머지는 아이가 해결하게 합니다. 새로운 개념을 접한 후 약간의 어색함만 없어지면 곧바로 심화 문제를 제시 합니다. 숙제가 5문제 이하 일 때도 있습니다. 심화 문제를 풀면 중간레벨 문제를 거의 모두 숙제로 풀 게 합니다. 심화문제를 풀 수 있는 단원은 숙제가 많지요. 미적분1 진도를 나갈 때 수1 문제지의 1/4정도가 숙제일 수도 있지요. 엄청난 양이지요. 숙제 결과는 그때 그때 다른 데, 대개는 맞고 틀린 문제 중심이 아니라 중요한 문제 중심으로 체크하죠.”
결국 학생이 문제를 풀고 선생은 가급적 적은 힌트로 도와줍니다. 어떤 경우는 한가지 문제를 여러 가지 방법으로 풀어 보도록 유도를 합니다. 아이 입장에선 새로운 개념을 접하는 과정이 심화문제를 푸는 상황과 크게 다를 게 없죠. 둘 다 결국 문제해결력을 향상시키는 대상이니까요.
이런 방식으로 공부하면서 15문제 아이의 수학 실력이 좋아지기 시작했어요. 고등학교에 진학하면서 “풀이 방법이 다르다. 답이 맞은 문제도 다시 푼다.” 이런 이야기가 돌았습니다. 수학은 이 아이의 가장 큰 무기가 되었죠. 고3 초반 언어와 영어 모의고사가 1,2등급 경계선이었습니다. 수학은 안정적인 1등급이었구요. 시간의 거의 언어,영어,과탐에 쓸 수 있어서 서울대에 진학했습니다.
“아이가 풀고 샘은 도와준다.” 처음엔 약간 어려울 수 있어도 아이도 문제 푸는 재미를 느끼기도 하죠. 수학이 버팀목이 되는 느낌을 아이들이 받으면 그 자심감이 다른 과목에도 영향을 끼치는 것같아요.
한 아이의 예를 들었지만, 이런 예는 여러 가지가 있지요. ‘수학머리’라는 것은 매우 과장된 느낌입니다. 학생이 정말로 노력하고, 좋은 방법으로 학습하면 막연하게 ‘수학머리’를 탓하는 상황이 줄어든다고 봅니다. 15문제 아이의 경우는 공부방법이 좋지 않아도 수학점수가 나쁘진 않았을 것 같습니다. ‘메타인지’조차도 보통아이 이상은 있었다고 보였죠. 하지만, 그 아이의 경우에 “좋은 공부 방법이 없었으면 서울대는 없었다.”라고 단언할 수 있다고 봅니다. “좋은 방법이 메타인지를 더욱 발달시켰고, 그런 역량이 다른 과목에 까지 영향을 주었다”가 저의 판단입니다. 물론 그 과정에서 아이의 노력도 상당했습니다. 노력에 등급이 있다면 고3 때는 노력을 1등급으로 했으니까요.