수학문제 질문드려요

[수학문제]

10(상)과정 식의계산 파트에서

문제가 나왔을 때 나머지정리를 이용하는 유형의 문제와 인수정리를 이용하는 문제의 유형을 딸이 헷갈려하네요
중학생인데 고등선행으로 이번에 처음나가는 거라 많이 어려워해요.

문제 하나 부탁드리자면..
두 다항식 x*** -2x** -5x+6과 (x-3)(3x** +ax+2a)의 최대공약수가 이차식일 때, a의 값은?
(*은 차수예요-예를 들어 x***=x의 세제곱 이런식으로요)

질문드려봅니다. 미리감사드려요^^

[에궁...]

아무도 답변이 없어서..
삼차식의 인수분해는 배웠을거예요.. 그중에 조립제법에 대해서 물어보세요...
그렇게 앞쪽의 식을 인수분해하면 (x-1)(x+2)(x-3)
뒤에 식에서 공통인수 (x-3)이니까 최대공약수는 이걸 포함한 이차식이 됩니다.
뒤쪽 식은 그러면 (x+2) 또는 (x-1)로 인수분해가 된다는 의미인데
그럼 x값대신 -2를 대입하면 a값이 나오지 않고 x값으로 1을 대입하면 a=-1 이나옵니다.
a=-1을 다시대입했을때 최대공약수가 2차식으로 나오는지 끝으로 확인한번 해보면 됩니다.
결론은 a=-1 산수를 맞게 했나 모르겠네요...