(급급급) 6학년수학문제.

[수학이]

지송합니다.

       6
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   2       3    
2   x   5       x  a

의 분자를 분모로 나눌 때 나누어 떨어지게 하려고 합니다. a는 세자리의 자연수 일 때 가장 큰 a의 값을 구하시요.

위의 식이 제대로 표현된 것인지 모르겠습니다.
6 / ( 2의제곱 x 5의3승 x a ) 를 의미합니다.
풀이 과정도 좀 알려 주시면 대감사하겠습니다.

[수학이]

네.. 과정을 제발요... 과정이 필요합니다.. 절실합니다.

[수학이]

고맙습니다. 근데, 전부 나누어 보지 않고 푸는 방법은 없을까요?

[프리댄서]

죄송합니다만, 제가 헷갈려서요.^^
답이 996 맞나요?
a가 3의 배수 999일 때도 나누어 떨어지는 것 같은데. 갸우뚱.

전부 나누어보는 게 아니라 저 문제의 핵심은 a가 '어떤 수의 배수'인가를 찾는 것.
윗님의 방식대로 하여 6의 배수.
6의 배수가 세 자리일 때 가장 큰 수...를 찾으라 했으므로 990 단위.
고로 999부터 거꾸로 내려오면서 6의 배수를 찾으면 996. (복잡한가요?)

근데 저거 3의 배수가 정답 아닌가요?
(아이 공부 때문에 초조하실 텐데 끼어들어서 죄송해요)

[프리댄서]

제 말은 2의 제곱과 5의 3승을 다 곱하지 않고 그대로 늘어놓음(2x2x5의3승)
그리고 분자 6도 약수로 늘어놓음(2x3)
분자와 분모에서 공통되는 2가 하나씩 약분됨.
그럼 3/2x5의3승xa.... 고로 나누어 떨어지려면 3의 배수.
3의 세 자리 배수 중 가장 큰 수 999...

저는 이거 같은데.. 흑흑. 다른 분이 시원히 알려주셨으면.

[원글]

정답지의 답은 996이라고 나와있어요.. 근데요 분자를 분모로 나누어 떨어진다고 하는데 왜 6으로 혹은 3으로 나누어 떨어진다고 하는지 이해가 안가서요.. 분모를 분자로 나눈다고 하면 이해가 가는데요... 아 답답해요..

[북극곰]

답이 996이면 나누어 떨어지나요? 안떨어질 것 같은데요.
원래 분자를 분모로 나누어 떨어지게 하려면 기약분수로 만들었을때( 그러니까 약분되는것 다 약분 한것이 기약분수) 소인수가 2나 5의 곱으로만 이루어 져야하거든요.
약분했을때 a가 분자의 3과 약분되야하므로 3의 배수는 맞지만 3은 하나만 있어야하고 나머지는 2와 5의 곱(제곱 세제곱 네제곱...이런식으로)으로 되어있어야해요.
그런데 a가 3자리수로 최대값이라고 했으니까
a=3* K(K=2의m제곱*5의 n제곱형태)이므로
K는 100/3보다 크거나 같고(그래야 세자리수가 됨;100-999) 1000/3보다는 작아야해요

[//]

나누어떨어진다는 건 나머지가 안생긴다는 의미잖아요
주어진 식에서 일단 a를 빼놓고 6나누기 500을 하면 나머지는 2가 생기네요.
나머지가 안 생기게 나누어떨어지려면 6나누기 a를 했을 때 나머지가 4가 생겨야 하니까 세자리수중에서 가장 큰 4의 배수는 996, 그래서 답이 996이 아닐까요?

[북극곰]

그다음에는 큰것(5)에 기준을 맞춰보세요.
5의 0승은 1, 5의 일승은 5 , 5의 2승은 25 ,5의 3승은 125,( 5의 4승은 625이므로 333을 넘어서 안됨)
2의 0승은 1, 2의 1승은 2, 2의 제곱은 4,8,16,32,64,128,256까지만 되죠.
K는
5의 3제곱*2=250일때 최대
5의 2제곱*2의3제곱=200일때 최대
5의 1승*2의 6제곱=320일때 최대
5의 0승*2의8승은-256일때 최대
따라서 a=3K=3*320=960일때 최대가 될것 같네요.

[북극곰]

답이 잘못된것 같아요. 996으로 답을 해서 직접 나눠보시면 알수 있으실거예요.

[프리댄서]

아, 북극곰님 설명을 들으니 명쾌하게 이해되네요! 오...
정말 그래요, 996이 아니라 960이 답이네요.
설명을 보다 보니 소시 적 배운 게 떠올랐습니다.
우선 원글님께서 답답해하시는 '분자를 분모로 나눴을 때, 나누어 떨어진다'는 유한소수가 나온다는 걸 의미하는데,
유한소수가 나오기 위해선 북극곰님 말씀대로 그 분수가 기약분수인 상태에서 분모가
2나 5의 곱으로만 이루어져야 하지 않나요?
즉, 분모의 소인수가 2나 5로만 되어 있어야 함.

그에 따라

6(2x3)/2의제곱x5의세제곱xa는 약분해서 3/2x5의세제곱xa.
그러므로 a는 3x(2의n제곱x5의n제곱)이어야 함.
저때 3은 꼭 한 개만 있어야 함.
한 개만 있으면 분자의 3과 약분이 되어서 없어지지만 두 개 이상이 되면 약분해도 3이 남게 됨.
그럼 분모의 소인수가 2의n제곱x5의n제곱x3의n제곱 형태가 되어버려서 유한소수가 나오지 않음.

이제 남은 문제는 a, 즉 3x(2의n제곱x5의n제곱)의 세 자리 최대값을 구하는 것임.
세 자리라 했으므로 3x( )=999 이하여야 함.
즉, 괄호 속 숫자는 333 이하일 것.
괄호 속 숫자를 구하는 법은 북극곰님 설명대로 큰 소인수인 5를 먼저 기준으로 삼음.
5의 제곱수 가운데 333을 넘지 않는 가장 큰수는 5의 3제곱=125.
그러므로 5의 3제곱에 2의 제곱수를 곱해서 333을 넘지 않는 수는
125x2=250
그 다음 5의 제곱수를 낮추고 2의 제곱수를 높여서 곱해봄.
25x8=200,
5x64=320,
1x256=256..

저 중에서 가장 큰 수는 320이므로 a=3x2의6제곱x5=960.

실제로 996을 소인수분해 해보니 2의제곱x3x83이 나옵니다.
그럼 분모 전체는 2의네제곱x5의세제곱x3x83이라는 말입니다.
저기서 3은 약분되어 없어지지만 문제는 그렇게 해도 분모의 소인수에 83이 남게 된다는 거죠.
혹시나 해서 999부터 960까지 컴퓨터 계산기로 소인수분해 해봤답니다.
3을 하나 포함하면서 나머지는 2와 5의 제곱수로 이루어지는 건 960밖에 없었어요.
(흑, 이 정성이라니!)

수학 못 하는 사람이 초딩 6학년 문제 가지고 오랜만에 씨름해봤네요. ㅠㅠ

[원글]

죄송혀요.. 답이 960이라고 나와있는것을 제가 잘못 올렸어요.
6학년 수학. 제겐 너무 어려워요. 이런 정도의 문제를 해결못하면 6학년 재학생중에 어느 정도 실력이 되는지... 먼저 엄마인 제가 이러니..
감사드려요...
저도 다시한번 차근차근 풀어봐야 겠어요.

[수학쎔..]

이거 경시문제입니다..중 2에 유한소수라는 단원에서 배웁니다. 분모가 2와 5의 곱으로 되어있는 경우..먼저 2로 약분해버리면 3이 남아서 분모는 2와 5 그리고 3이 하나 있어야 합니다.
이를 조합해서 가장 큰 세자리수를 만들면 2^6 *3*5 = 960 입니다. 지금 6학년 이 문제 못 풀어도 됩니다..너무 걱정하지마세요..