고2 행렬문제 좀 가르쳐 주세요

[감사합니다]

행렬A의 5제곱이 0 이면
행렬A의 2제곱이 0 이라고
하는데 이유는 무엇인지 가르쳐
주시면 감사하겠습니다

[행렬]

행렬A의 5제곱이 0이면 A의 역행렬이 존재하지 않는다는 뜻이므로
역행렬이 존재하지 않으면 케일리 헤밀턴 정리를 이용했을때 kA=0이므로 이걸 제곱하면
kA제곱은 0이므로 A제곱은 0이된다.

[그지패밀리]

흠냐리 이건 역행렬이 존재할때와 안존재할때 두개로 나뉘어서 증명하는건데요.
행렬 참거짓 진위여부 할때 많이 나와요
일단 결론이 행렬 에이의 N승이 영행렬이면 그 밑의 제곱승들.즉 오승이 영행렬이면 사승 삼승 이승 모두 영행렬이에요.

역행렬이 존재할때는 에이 오승은 0이라는 식에 각각 역행렬을 곱하면 모두 영행렬이 나와요 이건 증명이 이렇게 되니깐 쉽구요
역행렬이 존재하지 않을때는 일일이 증명을 해야 해요.
일단 결론부터 말하자면 행렬 오승이 영행렬이면 에이 제곱승은 당연히 영승입니다.

역행렬이 존재하지 않을때는 어디 증명된게 있으면 링크를 걸어드릴께요
여기다 제가 적기가 부치네요.

[그지패밀리]

검색하니 잘 없어서 네이버 지식인에 올라온걸로 링크걸께요 행렬이라 제가 적기가 불편하네요 이곳 게시판에는.
이거 보심 이해되실 거예요.이거보고도 이해안되면 질문하세요.
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=110403&docId=103134779&qb=7...

[...]

그지패밀리님의 설명에서 이상한 부분이 있어요.
A 가 역행렬이 존재할 때와 존재하지 않을때로 나누어지지 않고,
A^5 = O 이 되려면 항상 역행렬은 존재하지 않아요.

증명에서 보면,
A의 역행렬이 존재한다면 A=O 이다라고 하는데,
모순이죠. (영행렬은 역행렬이 없으니까)

그러므로 역행렬이 존재하지 않을때만 생각하면 됩니다.

[....]

역행렬이 존재하지 않으므로 케일리-해밀턴에 의해
A^2 - kA=O ( 이 때, a+d=k 라 두었습니다. )
즉, A^2 = kA
귀납적 정리에 의해 A^5 = (k^4) A = O 이므로
k^4 = 0 ( k=0) 이거나 A=0 입니다.
둘 중 어느경우나 A^2 = O 이죠.

결론은 A^5 = O 인 경우는
행렬 A=O 이거나, 역행렬이 없으면서 a+d=0 인 경우 뿐이므로
A^2 까지 O 가 됩니다.

[감사합니다]

명쾌하고 빠른답 감사합니다