이직 일자가 촉박한데 어떻게 해야 하나요?

[..]

현 직장에서 계약직 근무 중이고 여름에 계약 종료됩니다. 그래서 최근 몇 달간 이력서를 내고 있는데 정규직에서 계속 떨어져서 계약직 한 군데를 넣었어요. 어제 면접을 봤고 오늘 오전에 합격했다고 연락이 왔는데...

문제는 오늘이 2/21인데 2/24까지 건강검진을 완료하고 3/2부터 출근하랍니다. 제가 현재 재직 중인데도 날짜 연기가 전혀 안되더라구요. 날짜 실랑이 하다가 연봉정보도 하나도 못물어봤네요. 

이직이 처음이라 어떻게 해야할지 영 감이 안옵니다. 아직 계약기간이 몇 달 남아있으니 다니면서 다른 곳 정규직을 계속 노려야 하나 (지금 직장은 연가쓰기가 편한 편인데 이직할 곳은 월 1회라는데 이직 초기에는 사실 휴가 못내죠), 일단 가야하나 고민이 되네요. 직장 규모는 지금이 좋고, 업무는 이직할 곳이 경력에 도움됩니다. 문제는 3월에 연락 기다리는 곳이 있어서 참...