수학2문제 풀이좀 부탁드려요

[팥빙수]

1. 중2 기말에 나왔던문제

뱃사공이 일정한 속력으로 강을 거슬러 노를 젓고 있다. 출발점에서 6km정도 노를 저었을때,

갑자기 바람이 불어 모자가 벗겨져 버렸다.  모자는 바로 강물을 따라 흘러 내려가기

시작했다. 하지만 뱃사공은 1시간이 지나서야 모자가 벗겨진 사실을 알게 돼었고

바로 방향을 바꾸어 이전과 같은 속력으로 모자를 찾아 강을 따라 노를 젓기 시작했다.

만일 처음 출발점까지 되돌아와서야  모자를 찾을수 있었다면 강물의 속력은?

 

2. 고1 기말에 나온문제

X에 대한 사차방정식     X 사제곱  +  aX제곱 +  a 사제곱  -  18a 제곱  +  b 제곱  - 8b  +  97  =  0

이  두개의 허근과 한개의 중근을 갖도록 하는 실수 a, b에 대하여 a + b 의 값을 구하면?

 

수학 고수분들,  그학년에 맞는 풀이방법 좀 알려주시면 감사하겠습니다.

[2 풀이]

x^2 = t 라 치환
1) t >0 : 두 실근
2) t = 0 : 중근
3) t < 0 : 두 허근

(2)번과 (3)번에 해당하므로, 주어진 식은 " t (t + 양수) = 0 " 의 형태로 인수분해 되어야함.
즉, 상수항=0

주어진 상수항을 인수분해 : (a^2 - 9)^2 + (b-4)^2 = 0
즉 b=4, a=+3 혹은 a=-3

a=-3인 경우 주어진 식이 t(t-3)=0 이므로 t=3, 즉 두 실근이 되므로 제외시킴.

결론 : a=3, b=4

[^^]

1.

1 ) 모자의 속력 0 , 강물 속력 x , 배 속력 y 라 두고. 시간 = 거리 / 속력
배의 거슬러 오를 때 속력 y-x , 배의 내려올 때 속력 y+x
배가 모자를 떨어뜨리기 전까지 올라간 거리는 6키로
떨어뜨린 후 1시간 거슬러 올라간 거리는 y-x ( 거리 = 시간 * 속력인데 1시간을 y-x속력으로 올라갔음)
이 y-x가 결국 다시 내려올 때 모자를 떨어뜨리는 지점까지의 거리이기도 하다.
그러므로 배가 턴해서 내려온 총 거리는 y-x+6 키로이다.

2) 배가 모자를 떨어뜨린 후 총 이동한 시간은 올라갔던 1시간과
y-x+6키로의 거리를 속력 y+x로 내려오는 데 소요된 시간을 합치면 된다.
그러므로 1+ (y-x+6 / y+x ) 이다.

3) 모자는 속력이 없으니 모자 속력도 그냥 x로 두면 모자의 이동 시간은 6/x이다.


4) 둘이 출발점에 와서야 만났으니 둘의 시간이 같아야 하므로
6/x = 1+ (y-x+6 / y+x ) 이고 이 방정식을 풀면 x=3이 나온다.

2. x에 대한 방정식이라고 보면 이 방정식은 x네제곱과 x제곱항 그리고 상수항들이 모인 것이다.
그런데 이 방정식이 두개의 허근과 중근을 가진다고 한다면.
x제곱의 값이 음수가 나와서 거기서 두개의 허근이 나오는 것이고
나머지 x제곱의 값은 0이어야 중근이 된다. ( x제곱이 양수가 되면 x가 두개의 실근이 나올것이다. )

그러므로 원방정식은 상수항이 0이 되어야만 한다.
그러면 뒷쪽의 상수항 a네제곱 어쩌구. .. + 97 = 0 이 식을 풀어서 조건을 찾는데.
여기서 97을 81과 16으로 분리하면 앞도 완전제곱 뒤의 b항도 완전제곱이 나온다.
( a제곱 - 9 )제곱 + ( b - 4 )제곱 = 0 을 만족하려면.
a제곱은 9여야 하고 b는 4여야 한다.

여기서 원래방정식을 다시 살펴보면 a가 -3이 되면 x제곱이 3이 되어 두개의 실근이 되므로
a는 반드시 양수가 되어야 한다.

그러므로 a=3, b=4이다.


헉헉..맞나 모르겠어요. 쓰느라 머리 다 빠집니다.-.- 계산은 확인해보시기 바래요.

[팥빙수]

정말 존경스럽습니다. 감사드려요. 애들시험문제 너무 어려운거 같아요.