중1 수학문제~(푸시는분은 제가 사랑해드림ㅠㅜ)

[수학이]

문제가 8*a 의 약수의 개수가 12개일때, 다음 중 자연수 a의 값이 될 수 있는 것을 모두 고르면?(정답2개) 에요

객관식인데 1번은 4, 2번은 9, 3번은 12, 4번은 14, 5번은 16 이에요..

이걸 어떻게푸는지 모르겠어요.. 최대한 자세하게 설명해주세요~♥

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2번 3번이요

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1번의 경우 8*4는 2의 5제곱이므로 2의 0제곱부터 2의5제곱까지 여섯개
2번의 경우 8*9는 2의 3제곱*3의 2제곱인데 8의 경우 2의 0제곱부터 3제곱까지 4가지 9의 경우 3의 제곱이므로 3의 0제곱부터 3의 2제곱까지 3개해서 4*3=12예요. 다른것도 해보면 되고 모든 수의 0제곱은 1입니다.

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2번의 경우를 좀더 자세히 풀면
8의 경우 1.2.4.8 / 9의 경우 1,3,9여서
약수는 1*1,1*3,1*9/2*1,2*3,2*9/4*1,4*3,4*9/8*1,8*3,8*9 를 계산하면 12개가 나오믄 거예요.
0제곱(=1)이 있으므로 한가지씩이 더 늘어나서 (3+1)*(2+1)=12개

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자연수의 약수의 개수는 인수분해 후의 지수와 관계가 있습니다
예를들어 8의 경우 인수분해 하면 2의 3제곱으로 약수는 1,2, 4,8네개의 약수가 나오고
12의 경우는 2의 제곱과 3의 곱으로 1,2,3,4,6,12로 6개가 나옵니다
정리하면 약수의 개수는 지수+1의 곱으로 나옵니다
참조는 밑에 달게요. 기호쓰기 힘들어요...
그래서 2번인경우 8과9의 곱이므로 2의3제곱과 3의 제곱의 곱이죠
그래서 지수인 3에 1더하면 4, 3의지수 2에 1더하면 3 곱해서 12개의 약수가 나옵니다
3번의 경우는 8과 12의 곱으로 인수분해하면 2의 5승 곱하기 3으로 2의지수5에 1더하고 3의 지수1에 1더해서 곱하면 6×2=12입니다
그래서 2번과 3번이 답이죠

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http://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=pooong_story&logNo=70128627628

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http://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=gt7461&logNo=110141187449

[풀이]

약수의 갯수가 12 니까, 12=2*2*3 인데 8*a 에서 8은 이미 2의3승 이기때문에 2*2*3 은 탈락..
이중에서 12가 될수 있는 곱은 4*3 , 6*2, 12*1 만 될수 있어요.
1)4*3 경우
8*a = 2^3 * a => 약수의갯수 = (3+1) * (2+1)=12 이므로, a는 2가 아닌 소수의 제곱수면 됩니다.
즉, 3^2, 5^2, 7^2,.......보기중에 3^2=9
2) 6*2 경우
8*a=2^3 * a => 2^3 * 2^2 * b (b:2가아닌소수) = 2^5 * b 형태가 되면 (5+1)*(1+1)=12 가 되므로
이때, b=3,5,7,....이 될수 있죠. 그래서, a=2^2 * b=4*3=12 가 보기중에 있네요.

3)12*1 경우
8*a=2^3*2^8=2^11 으로 12개가 되는데, 보기중에 2^8은 없으니까..이경우는 패스..

답:2,3 번

[000]

약수의 갯수를 구하는 공식은 해당숫자를 소인수 분해하여 (지수+1) x (지수+1)..... 입니다.
10의 경우 2x5 이므로 (1+1) x (1+1) = 4 가 나오죠 1,2,5,10

8은 2의 3승입니다. 따라서 공식에 기분으로 (3+1) 이 들어갑니다. 약수의 개수가 12므로 뒷 숫자는 3이 되겠네요.

1. 8x4 = 2^3 x 2^2 = 2^5 개수= 1x(5+1) = 6 (1,2,4,8,16,32)
2. 8x9 = 2^3 x 3^2 개수=(3+1)x(2+1) = 12 (답)
3. 8x12 = 2^3x2^2x3 (5+1) x (1+1) = 12 (답)
4. 8x14 = 2^3 x 2 x 7 (4+1) x (1+1) = 10
5. 8x16 = 2^3 x 2^4 (7+1) = 8

위의 풀이에서 보시면 인수가 2의 3승 곱하기 3의 1승 이라면 (3+1) x (1+1) 이 들어가는 겁니다. 몇승부분이 들어가는거죠.

[수학이]

감사합니다^^